Решение задачи 10 по теме "Двойной интеграл, объем тела"

Решение задачи 10 по теме "Двойной интеграл, объем тела":

Первая поверхность — эллиптический параболоид, у которого осью симметрии является ось Oz. Он пересекает ее в точке (0, 0,1). Над плоскостью хOу параболоид приподнят на одну единицу масштаба, поверхность х + у – 3 = 0 - плоскость, параллельная оси Oz, а остальные поверхности - координатные плоскости. На плоскости хОу тело вырезает треугольник, ограниченный координатными осями и прямой х + y - 3 = 0.

Решение задачи 10-1 по теме Двойной интеграл, объем тела

Объем тела вычисляется по форму-ле, в которой область интегрирования (σ) - указанный треугольник, а z надо заменить его значением из уравнения той поверхности, которая сверху ограничивает тело, Решение задачи 10-2 по теме Двойной интеграл, объем тела

Решение задачи 10-2 по теме Двойной интеграл, объем тела

Преобразуем двойной интеграл в повторный, причем первое интегрирование (внутреннее) будем вести по переменной х, а второе (внешнее)— по переменной у. При постоянном у переменная х изменяется от х = 0 до х = 3 - у (это значение х найдено из уравнения прямой х + у - 3 = 0), а у изменяется от 0 до 3. Поэтому Решение задачи 10-3 по теме Двойной интеграл, объем тела

Решение задачи 10-3 по теме Двойной интеграл, объем тела

Вычисляем внутренний интеграл

Решение задачи 10-4 по теме Двойной интеграл, объем тела

Решение задачи 10-5 по теме Двойной интеграл, объем тела

Подставляя это значение внутреннего интеграла в выражение (А), получаем

Решение задачи 10-6 по теме Двойной интеграл, объем тела